RC 회로, 스위치를 켜면 왜 바로 안 찰까?

전압은 계단이 아니다

스위치를 켜면 전원 전압이 바로 걸릴 것 같습니다. 그런데 커패시터 양단 전압을 오실로스코프로 보면 완만한 곡선이 그려집니다.

더 이상한 건 끝입니다. 아무리 기다려도 공급 전압에 정확히 도달하지 않습니다. 가까워질 뿐이죠.

왜 이렇게 굼뜬 걸까요.

한 줄 정의

커패시터는 전압을 순간적으로 바꿀 수 없습니다.

$i = C\frac{dv}{dt}$

전압이 계단처럼 뛰려면 $dv/dt$ 가 무한대여야 하고, 그러면 전류도 무한대여야 합니다. 회로에 저항 $R$ 이 있는 한 전류는 $V/R$ 을 넘지 못하므로, 전압은 반드시 시간을 들여 변합니다.

곡선의 정체

키르히호프 전압 법칙을 세우면

$V_0 = iR + v_C, \qquad i = C\frac{dv_C}{dt}$

$RC\frac{dv_C}{dt} + v_C = V_0$

1차 선형 미분방정식이고, 초기 조건 $v_C(0)=0$ 에서 풀면

$v_C(t) = V_0\left(1 - e^{-t/RC}\right)$

지수함수가 나오는 이유는 남은 전압 차에 비례해서 충전되기 때문입니다. 많이 남았을 땐 빠르게, 거의 다 찼을 땐 느리게 — 자기 자신에 비례하는 변화는 항상 지수함수가 됩니다.

시상수 τ = RC

지수의 분모 $RC$ 를 시상수 $\tau$ 라 부릅니다. 단위를 확인하면 옴 × 패럿 = 초입니다.

$t = \tau$ 를 넣어보면

$v_C(\tau) = V_0(1 - e^{-1}) = V_0 \times 0.632$

63.2% 라는 숫자는 외울 게 아니라 $1 - 1/e$ 입니다.

τ 를 키우면 무슨 일이 생기나

$\tau = RC$ 이므로 저항이나 커패시턴스를 키우면 느려집니다.

• $R$ 이 크면 — 전류가 적게 흘러 채우는 데 오래 걸립니다
• $C$ 가 크면 — 담을 그릇이 커서 같은 전류로 더 오래 걸립니다

이 성질을 이용한 게 RC 필터입니다. 빠른 변화(고주파)는 커패시터가 따라가지 못해 걸러지고, 느린 변화(저주파)만 통과합니다. 시상수가 곧 "얼마나 빠른 변화까지 따라갈 수 있는가"의 기준이 됩니다.

방전은 대칭입니다

전원을 떼고 저항으로 방전시키면

$v_C(t) = V_0\,e^{-t/RC}$

같은 $\tau$ 로 떨어지고, 1τ에서 36.8%($e^{-1}$)가 남습니다. 63.2%와 36.8%를 더하면 100%인 게 우연이 아닙니다 — 같은 지수를 위에서 보느냐 아래서 보느냐의 차이입니다.

정리

• 커패시터는 $i = C\,dv/dt$ 때문에 전압을 순간적으로 못 바꿉니다
• 남은 전압 차에 비례해 충전되므로 곡선은 지수함수입니다
• $\tau = RC$ 는 시간 단위이고, 1τ의 63.2%는 $1 - 1/e$ 입니다
• 5τ = 99.3%라 실무에서 "다 찼다"고 봅니다 — 수학적으로는 영원히 도달하지 않습니다
• 방전은 같은 τ로 떨어지고 1τ에 36.8%가 남습니다
• 못 뛰는 건 전압뿐 — 전류는 스위치를 켜는 순간 최대입니다

굼떠 보였던 건 회로가 느려서가 아니라, 전압이 뛰려면 무한대 전류가 필요하기 때문이었습니다.