회전체의 부피, 왜 하필 πy²을 적분할까?

공식은 외웠는데 왜 그런지는 모른다

$V = \int_a^b \pi [f(x)]^2\,dx$

시험에는 잘 씁니다. 그런데 "왜 $\pi y^2$ 이냐"고 물으면 막힙니다. 원둘레 $2\pi y$ 와 헷갈리기도 하고요.

한 번만 그림으로 따라가면 다시는 안 헷갈립니다.

한 줄 정의

회전체는 평면 도형을 한 직선(회전축) 둘레로 한 바퀴 돌려 만든 입체입니다.

얇게 썰어서 더한다

부피를 구하는 전략은 적분의 기본과 같습니다. 잘게 썰어서 더합니다.

회전축에 수직으로 썰면 단면이 나옵니다. 이 단면이 무엇일까요.

축을 중심으로 한 바퀴 돌린 것이므로, 단면은 반지름이 $y = f(x)$ 인 원입니다. 원의 넓이는

$A(x) = \pi [f(x)]^2$

두께 $dx$ 인 얇은 원판 하나의 부피는 $A(x)\,dx$ 이고, 이걸 $a$ 부터 $b$ 까지 더하면 전체 부피입니다.

$V = \int_a^b \pi [f(x)]^2\,dx$

계산해 보기

$y = \sqrt{x}$ 를 $0 \le x \le 4$ 에서 $x$ 축 둘레로 돌립니다.

$V = \int_0^4 \pi(\sqrt{x})^2\,dx = \pi\int_0^4 x\,dx = \pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi \approx 25.13$

제곱근이 제곱과 만나 사라지면서 계산이 아주 단순해집니다. 회전체 문제에서 제곱근 함수가 자주 나오는 이유입니다.

가운데가 빈 경우 — 와셔법

두 곡선 사이 영역을 돌리면 도넛 단면(와셔)이 됩니다. 바깥 원에서 안쪽 원을 빼면 됩니다.

$V = \int_a^b \pi\left([R(x)]^2 - [r(x)]^2\right) dx$

원판법 vs 원통껍질법

축에 수직으로 썰면 원판, 평행하게 썰면 원통껍질입니다.

여기서 $2\pi$ 가 등장합니다. 원통껍질은 얇은 통을 펼치면 직사각형이 되고, 그 가로가 원둘레 $2\pi x$, 세로가 높이 $y$, 두께가 $dx$ 입니다. 둘레를 쓰는 게 맞는 자리가 따로 있는 셈이죠.

선택 기준은 간단합니다 — 역함수를 구하지 않아도 되는 쪽을 고르면 됩니다. $y$ 축 둘레로 도는데 함수가 $y = f(x)$ 로 주어졌다면, 원판법을 쓰려면 $x = f^{-1}(y)$ 를 구해야 하지만 원통껍질법은 그대로 씁니다.

정리

• 회전체 부피는 얇게 썰어 더하는 것 — 적분의 기본 전략 그대로입니다
• 축에 수직으로 썰면 단면이 반지름 $y$ 인 원이라 넓이가 $\pi y^2$ 입니다
• $2\pi y$ 는 둘레(1차원)라 부피를 만들 수 없습니다. 단위로 확인하면 헷갈리지 않습니다
• 가운데가 비면 넓이의 차를 씁니다 — $\pi(R^2 - r^2)$
• 원통껍질법은 축에 평행하게 썰고, 그때 $2\pi x$(둘레)가 제자리를 찾습니다
• 둘 중 역함수를 안 구해도 되는 쪽을 고르면 됩니다

공식이 외워지지 않았던 건 기억력 문제가 아니라, 단면이 무엇인지 안 봤기 때문입니다.