각운동량 보존, 팔을 접으면 왜 빨라질까?

아무도 밀어주지 않았는데

피겨 선수가 회전하다가 팔을 몸쪽으로 당깁니다. 회전이 눈에 띄게 빨라지죠. 다이빙 선수가 몸을 웅크릴 때도, 회전의자에 앉아 아령을 들고 팔을 접을 때도 똑같습니다.

이상한 점이 있습니다. 아무도 밀어주지 않았습니다. 얼음판은 거의 마찰이 없고, 팔을 당기는 힘은 회전 방향이 아니라 안쪽을 향합니다. 그런데 왜 빨라질까요.

한 줄 정의

알짜 돌림힘이 0이면 각운동량은 변하지 않는다.

$\vec{L} = I\vec{\omega} = \text{일정}$

$I$ 는 관성모멘트, $\omega$ 는 각속도입니다. 곱이 일정하니 한쪽이 줄면 다른 쪽이 늘어야 합니다.

얼마나 빨라지는지 계산해 보기

몸통의 관성모멘트를 $I_0 = 0.6$, 양손에 든 질량을 각각 $m = 1$ 이라 두고(상대값), 팔을 뻗었을 때 회전 반지름 $R = 0.85$, 접었을 때 $R = 0.30$ 이라 합시다.

$I = I_0 + 2mR^2$

관성모멘트가 0.38배로 줄었습니다. 각운동량이 그대로여야 하니

$\frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac{I_1}{I_2} = \frac{2.045}{0.780} = 2.62$

각속도가 2.6배가 됩니다. 질량은 그대로인데 축에 가까워진 것만으로 이만큼 빨라집니다.

관성모멘트가 $R^2$ 에 비례한다는 게 핵심입니다. 반지름을 3분의 1로 줄이면 그 항은 9분의 1이 됩니다.

여기서 대부분 걸리는 지점

또 하나 흔한 혼동은 "각운동량 보존"과 "운동량 보존"을 같은 조건으로 보는 것입니다. 둘은 별개입니다.

힘이 있어도 돌림힘이 0이면 각운동량은 보존됩니다. 행성이 태양 주위를 도는 게 그 예입니다 — 중력은 계속 작용하지만 항상 중심을 향하므로 돌림힘이 0이고, 그래서 근일점에서 빨라집니다. 케플러 제2법칙이 사실 각운동량 보존입니다.

정리

• 알짜 돌림힘이 0이면 $L = I\omega$ 가 일정합니다
• 중심을 향하는 힘은 돌림힘을 만들지 않습니다 — 그래서 팔을 당겨도 $L$ 이 유지됩니다
• 관성모멘트는 $R^2$ 에 비례하므로 축에 가까워지면 급격히 줄고, 각속도는 그만큼 늘어납니다
• 회전 에너지는 보존되지 않습니다. 늘어난 만큼은 팔을 당기며 한 일입니다
• 케플러 제2법칙도 결국 각운동량 보존입니다

빨라진 이유는 힘을 줘서가 아니라, 지켜야 할 값이 있었기 때문입니다.