케플러 법칙 3가지, 행성은 왜 원이 아니라 타원으로 돌까?

행성 궤도는 정말 '동그란 원'일까

태양계 그림을 보면 행성들이 태양을 중심으로 동그랗게 도는 것처럼 그려집니다. 하지만 실제 궤도는 완벽한 원이 아니라 살짝 찌그러진 타원이고, 태양은 그 중심도 아닙니다.

이 사실을 관측 데이터만으로 밝혀낸 게 케플러의 세 법칙입니다. 뉴턴의 중력 법칙보다 먼저 나와서, 훗날 뉴턴이 "왜 그런가"를 설명하는 출발점이 되었죠.

세 법칙 한눈에

제1법칙 (타원 궤도) — 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 돈다. (중심이 아니라 초점!)

제2법칙 (면적 속도 일정) — 태양과 행성을 잇는 선분은 같은 시간에 같은 면적을 쓸고 지나간다.

제3법칙 (조화 법칙) — 공전 주기의 제곱은 궤도 긴반지름의 세제곱에 비례한다.

$T^2 \propto a^3$

($T$ = 공전 주기, $a$ = 타원의 긴반지름 = 평균 궤도 반지름)

왜 되는가 — 직관

제2법칙은 사실 각운동량 보존의 결과입니다. 태양에 가까우면 반지름이 짧으니, 같은 면적을 쓸려면 더 빨리 움직여야 합니다. 그래서 행성은 태양 근처(근일점)에서 빠르고, 멀 때(원일점) 느립니다.

제3법칙은 "멀리 있는 행성일수록 훨씬 더 느리게, 훨씬 더 오래 돈다"는 뜻입니다. 거리가 조금만 멀어져도($a^3$) 주기가 크게 늘어나죠($T^2$).

예제로 확인

제3법칙 $T^2 \propto a^3$ 을 지구 기준으로 쓰면, $a$ 를 천문단위(AU), $T$ 를 년(year)으로 잴 때 $T^2 = a^3$ 이 됩니다.

• 지구: $a=1$, $T=1$ → $1^2 = 1^3$ ✓
• 화성: $a \approx 1.52$ → $T = \sqrt{1.52^3} \approx 1.88$ 년

실제 화성의 공전 주기 약 1.88년과 정확히 맞습니다.

여기서 다들 틀립니다 — 함정 3가지

1. 원 궤도로 착각. 타원입니다. 다만 지구·금성 등은 타원이 원에 가까워(이심률이 작아) 그림에서 원처럼 보일 뿐입니다.
2. 태양이 궤도 중심에 있다고 착각. 태양은 초점에 있습니다. 중심이 아닙니다.
3. 제3법칙의 $a$ 를 그냥 '거리'로 오해. $a$ 는 긴반지름(semi-major axis) 입니다. 궤도가 타원이라 거리는 계속 변하고, 그 평균에 해당하는 값이 $a$ 예요.

정리

• 제1: 타원 궤도, 태양은 한 초점
• 제2: 면적속도 일정(= 각운동량 보존, 가까울수록 빠름)
• 제3: $T^2 \propto a^3$ (멀수록 훨씬 느리고 오래)

케플러 법칙은 뉴턴의 만유인력으로 전부 유도됩니다. 관측(케플러)에서 원리(뉴턴)로 넘어가는 다리라, 여기를 잡아두면 중력·원운동·각운동량이 하나로 꿰어집니다.