앙페르 법칙, 전류 주위 자기장을 왜 '고리 적분'으로 구할까?

적분 한 줄로 끝나는 게 수상할 때

전류가 흐르는 무한히 긴 직선 도선 주위의 자기장을 구한다고 합시다. 정공법은 비오-사바르 법칙입니다. 도선을 잘게 쪼개 각 조각이 만드는 자기장을 전부 벡터로 더하는 적분이죠. 계산이 만만치 않습니다.

그런데 앙페르 법칙을 쓰면 같은 답이 두 줄에 나옵니다. 너무 쉬워서 오히려 불안해지죠. "이렇게 쉬운데 왜 비오-사바르를 배웠지?" 그리고 다음 문제에서 똑같이 적용했다가 답이 안 나옵니다.

이 글은 그 두 가지 — 왜 되는가와 언제 안 되는가 — 를 정리합니다.

한 줄 정의

임의의 폐곡선을 따라 자기장을 한 바퀴 적분한 값은, 그 곡선이 감싸는 알짜 전류에 비례합니다.

$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}$

• $\oint$ : 닫힌 경로(앙페르 고리)를 따라 한 바퀴
• $I_{\text{enc}}$ : 그 고리를 관통하는 알짜 전류
• $\mu_0$ : 진공의 투자율

왜 되는가 — 자기장은 전류를 '감고' 있다

전기장은 전하에서 뻗어나가지만, 자기장은 전류를 휘감습니다. 직선 도선 주위 자기력선이 동심원인 게 그 모습이죠.

그러니 자기장의 세기를 재는 자연스러운 방법은 "한 점에서 얼마나 센가"가 아니라 "한 바퀴 돌면서 얼마나 감고 있는가" 입니다. 그 감긴 총량이 정확히 안쪽을 지나는 전류에 비례한다 — 이것이 앙페르 법칙입니다.

고리 바깥의 전류는 어떨까요? 들어왔다 나가므로 적분에 기여가 상쇄되어 0입니다. 그래서 $I_{\text{enc}}$ 는 관통한 전류만 셉니다.

예제 1 — 무한 직선 도선

전류 $I$가 흐르는 직선 도선에서 거리 $r$ 인 곳의 자기장을 구합시다.

대칭성으로부터 자기장은 도선을 중심으로 한 동심원 방향이고, 같은 반지름에서는 크기가 일정합니다. 반지름 $r$인 원을 앙페르 고리로 잡으면 $\vec{B}$ 와 $d\vec{l}$ 이 항상 나란하므로

$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = B \oint dl = B(2\pi r) = \mu_0 I$

$\therefore\; B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

비오-사바르로 한참 걸리던 결과가 두 줄에 나왔습니다.

예제 2 — 솔레노이드

단위 길이당 $n$번 감긴 긴 솔레노이드 내부는 균일하고, 외부는 거의 0입니다. 내부를 지나는 길이 $L$짜리 직사각형 고리를 잡으면 기여하는 변은 내부 한 변뿐이라

$BL = \mu_0 (nL)I \;\Rightarrow\; B = \mu_0 n I$

내부 자기장이 위치와 무관하다는 결과가 바로 나옵니다.

여기서 다들 틀립니다 — 함정 3가지

1. "앙페르 법칙이 안 통한다"고 착각. 앙페르 법칙은 언제나 참입니다. 다만 $\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}$ 에서 $B$를 적분 밖으로 빼내려면 대칭성(경로 위에서 $B$가 일정하고 방향이 일정)이 필요합니다. 유한 길이 도선이나 사각형 코일처럼 대칭이 없으면 식은 성립하지만 풀리지 않아서, 비오-사바르로 돌아가야 합니다. 가우스 법칙이 전하 분포가 대칭일 때만 실전 도구가 되는 것과 똑같은 사정이에요.
2. $I_{\text{enc}}$ 에 모든 전류를 넣음. 고리를 관통하는 전류만 셉니다. 옆에 나란히 흐르는 도선이 있어도 내 고리를 안 뚫으면 기여는 0입니다. 반대로 도선 내부에 고리를 잡으면 전체 전류가 아니라 면적 비율만큼만 들어갑니다($I_{\text{enc}} = I \cdot r^2/R^2$).
3. 전류가 변할 때 그대로 씀. 원래 형태는 정상 전류에서만 맞습니다. 축전기를 충전하는 회로에서 극판 사이를 지나는 고리를 잡으면 전류가 0이라 $B=0$이 나오는데, 실제로는 자기장이 있습니다. 맥스웰이 이 모순을 변위전류로 메꿔서

$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enc}} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$

가 되었고, 이것이 맥스웰 방정식의 네 번째 식(앙페르-맥스웰 법칙)입니다. 전자기파의 존재가 바로 이 추가 항에서 나옵니다.

정리

• 결론: $\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}$ — 한 바퀴 감긴 자기장 = 관통 전류
• 강점: 대칭성이 있으면 적분 없이 두 줄로 자기장을 구함
• 한계: 대칭성이 없으면 참이지만 못 푼다 → 비오-사바르
• 확장: 변위전류를 더하면 앙페르-맥스웰 법칙 → 전자기파

앙페르 법칙은 전자기학에서 "대칭성을 찾아 적분을 없애는" 사고의 대표 사례입니다. 가우스 법칙과 한 쌍으로 익혀두면, 맥스웰 방정식 네 개가 각각 무엇을 재는 도구인지 한눈에 들어옵니다.