가우스 법칙, 적분 없이 전기장을 구하는 방법

적분이 사라지는 순간

무한히 긴 직선 도선에 전하가 고르게 있습니다. 도선에서 $r$ 만큼 떨어진 곳의 전기장은?

쿨롱 법칙으로 정직하게 풀면, 도선을 잘게 쪼개 각 조각의 기여를 벡터로 더해야 합니다. 대칭 덕에 수직 성분은 상쇄되지만 그래도 이런 적분이 남습니다.

$E = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{r\,dx}{(x^2+r^2)^{3/2}}$

삼각치환까지 동원해야 하죠. 그런데 가우스 법칙을 쓰면 이렇게 끝납니다.

$E \cdot 2\pi r L = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$

적분 기호가 아예 없습니다. 무슨 일이 일어난 걸까요?

한 줄 정의

닫힌 곡면을 통과하는 전기선속은 그 안에 든 알짜 전하에만 비례한다.

$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$

• 왼쪽: 폐곡면(가우스면)을 뚫고 나가는 전기력선의 총량
• 오른쪽: 그 면이 감싸고 있는 전하

왜 되는가 — 대칭성이 적분을 없앤다

가우스 법칙은 언제나 참입니다. 하지만 언제나 쓸모 있진 않습니다.

$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}$ 에서 $E$ 를 적분 밖으로 빼낼 수 있어야 계산이 되는데, 그러려면 두 조건이 필요합니다.

1. 가우스면 위에서 $E$ 의 크기가 일정할 것
2. $\vec{E}$ 가 면에 수직이거나 평행할 것 (평행이면 그 부분 선속은 0)

이 두 조건을 만들어주는 것이 대칭성입니다. 그래서 가우스 법칙이 실전에서 통하는 상황은 사실상 셋뿐입니다.

아까 도선 문제로 돌아가 봅시다. 반지름 $r$, 길이 $L$ 인 원통을 가우스면으로 잡으면 — 옆면에서 $E$ 는 어디나 같은 크기로 수직이고, 두 밑면에서는 $\vec{E}$ 가 면과 나란해 선속이 0입니다. 그래서

$E\,(2\pi r L) = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0}$

적분이 곱셈으로 바뀐 겁니다. 대칭성이 적분을 대신 해준 것이죠.

예제로 확인 — 속 찬 구

반지름 $R$ 인 공에 전하 $Q$ 가 고르게 퍼져 있습니다.

바깥 ($r > R$) — 구면을 잡으면 $Q_{\text{enc}} = Q$

$E\,(4\pi r^2) = \frac{Q}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$

전하가 점에 모여 있는 것과 똑같습니다. 지구 밖에서 지구를 점질량으로 보는 것과 같은 이야기죠.

안쪽 ($r < R$) — 반지름 $r$ 안에 든 전하만 셉니다. 부피비만큼이니

$Q_{\text{enc}} = Q\,\frac{r^3}{R^3}$

$E\,(4\pi r^2) = \frac{Q r^3}{\varepsilon_0 R^3} \quad\Rightarrow\quad E = \frac{Q r}{4\pi\varepsilon_0 R^3}$

안쪽에서는 $E \propto r$ — 중심에서 0이고 표면으로 갈수록 선형으로 커집니다. 표면 $r=R$ 에서 두 식이 정확히 만나죠. 검산 포인트입니다.

도체가 특별한 이유

정전기적 평형 상태의 도체 내부에서는 $\vec{E} = 0$ 입니다. 자유전자가 있어서, 내부에 장이 남아 있으면 전자가 계속 움직입니다 — 움직임이 멈췄다는 건 장이 0이 됐다는 뜻이죠.

여기에 가우스 법칙을 얹으면 결론이 줄줄이 나옵니다.

• 도체 내부 아무 데나 가우스면을 잡으면 $\oint\vec E\cdot d\vec A = 0$ → $Q_{\text{enc}} = 0$ → 알짜 전하는 전부 표면에
• 속이 빈 도체 껍질 안쪽은 바깥 전하와 무관하게 장이 0 → 정전기 차폐(엘리베이터에서 전파가 끊기는 이유)
• 도체 표면 바로 바깥의 장은 $E = \sigma/\varepsilon_0$, 방향은 표면에 수직

여기서 다들 틀립니다 — 함정 3가지

1. "$Q_{\text{enc}} = 0$ 이니 $E = 0$"이라고 단정. 가우스 법칙이 말하는 건 선속의 총합이 0이라는 것뿐입니다. 예를 들어 점전하 옆에 그 전하를 감싸지 않는 구면을 놓으면 선속은 0이지만, 면 위 각 점의 $E$ 는 0이 아닙니다. 한쪽으로 들어와 반대쪽으로 나갈 뿐이죠. $E=0$ 을 말하려면 대칭성 논증이 따로 필요합니다.

2. 대칭이 없는데 가우스 법칙으로 풀려 한다. 유한한 길이의 막대, 정사각 판, 두 점전하 — 전부 가우스 법칙이 성립은 하지만 $E$ 를 적분 밖으로 못 빼서 풀리지 않습니다. 이럴 땐 쿨롱 법칙으로 적분하는 게 정답입니다.

3. 무한 평면의 $\sigma/2\varepsilon_0$ 과 도체 표면의 $\sigma/\varepsilon_0$ 을 혼동. 얇은 전하판은 양쪽으로 장을 내보내 $E = \sigma/2\varepsilon_0$, 도체 표면은 안쪽이 0이라 바깥으로만 나가 $E = \sigma/\varepsilon_0$ 입니다. 2배 차이가 여기서 갈립니다.

정리

• 결론: $\oint \vec E\cdot d\vec A = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$ — 선속은 감싼 전하만 본다
• 성립 vs 유용: 항상 성립하지만, 대칭이 있어야 계산 도구가 된다
• 세 가지 대칭: 구 · 원통 · 평면. 그 밖은 쿨롱 적분
• 도체: 내부 $E=0$ → 전하는 표면에, 내부는 차폐, 표면 장은 $\sigma/\varepsilon_0$

가우스 법칙은 맥스웰 방정식의 첫 번째 식입니다. 여기서 익힌 "대칭을 보고 면을 고른다"는 감각이 앙페르 법칙에서 경로를 고를 때 그대로 반복됩니다.