쿨롱의 법칙, 전하 사이 힘은 왜 거리의 제곱에 반비례할까?

전하끼리는 어떻게 서로를 밀고 당길까

머리를 빗으면 머리카락이 빗에 달라붙고, 겨울에 문고리를 잡으면 '찌릿' 합니다. 눈에 안 보이는 전하 사이에 힘이 작용한다는 증거죠. 그런데 이 힘은 얼마나 셀까요? 거리가 멀어지면 얼마나 약해질까요?

이걸 정량적으로 못 박은 게 쿨롱의 법칙입니다. 전자기학의 출발점이자, 놀랍게도 중력 법칙과 형태가 똑같은 법칙이죠.

한 줄 정의

두 점전하 $q_1$, $q_2$ 가 거리 $r$ 만큼 떨어져 있을 때, 둘 사이에 작용하는 전기력의 크기는

$F = k\,\frac{q_1 q_2}{r^2}$

• $k$ = 쿨롱 상수 $\approx 8.99 \times 10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2$ (또는 $k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$)
• 같은 부호면 척력(밀어냄), 다른 부호면 인력(끌어당김)
• 힘의 방향은 두 전하를 잇는 직선을 따라

왜 되는가 — 역제곱의 직관

전하에서 뻗어 나가는 영향(전기장)이 사방으로 퍼진다고 생각해 봅시다. 거리 $r$ 에서 그 영향은 반지름 $r$ 인 구의 표면($4\pi r^2$)에 골고루 나뉩니다. 넓이가 $r^2$ 에 비례해 커지니, 한 점이 받는 세기는 $1/r^2$ 로 줄어듭니다.

그래서 거리가 2배가 되면 힘은 $\frac{1}{4}$, 3배면 $\frac{1}{9}$ 로 급격히 약해집니다. 빛의 밝기, 중력이 약해지는 방식과 똑같은 이유죠.

예제로 확인

수소 원자에서 양성자와 전자($q = \pm e = \pm 1.6\times10^{-19}\,\text{C}$)가 약 $r = 5.3\times10^{-11}\,\text{m}$ 떨어져 있을 때, 둘은 반대 부호라 서로 끌어당깁니다(인력). 이 전기적 인력이 전자를 원자에 붙잡아 두는 힘입니다. (같은 거리에서 두 입자 사이 전기력은 중력보다 약 $10^{39}$ 배 강합니다.)

여기서 다들 틀립니다 — 함정 3가지

1. 역제곱을 반비례와 혼동. 거리 2배면 힘이 절반($1/2$)이 아니라 $1/4$ 입니다. $r$ 이 아니라 $r^2$ 에 반비례.
2. 점전하 가정을 잊음. 이 공식은 점전하(또는 균일한 구 전하) 기준입니다. 크기가 크거나 전하가 치우친 도체는 그대로 못 쓰고 적분이 필요합니다.
3. 스칼라로만 취급. 전기력은 벡터입니다. 전하가 셋 이상이면 각 쌍의 힘을 구해 벡터로 합(중첩)해야 합니다. 크기만 더하면 틀립니다.

정리

• 결론: $F = k\dfrac{q_1 q_2}{r^2}$ — 거리 제곱에 반비례, 같은 부호=척력·다른 부호=인력
• 직관: 영향이 구 표면($4\pi r^2$)에 퍼져 $1/r^2$
• 중력과: 형태 동일, 단 전기력은 인력·척력 둘 다이며 훨씬 강함

쿨롱의 법칙은 전기장·전위·가우스 법칙으로 이어지는 전자기학의 첫 단추입니다. 역제곱과 벡터 합, 이 둘만 정확히 잡으면 뒤따르는 전기장 계산이 훨씬 수월해집니다.