정적분, 왜 '넓이'를 미분의 반대로 구할까? — 미적분의 기본정리

미적분학2026년 8월 10일

곡선 아래 넓이, 어떻게 구할까

직사각형이나 삼각형 넓이는 공식으로 바로 구합니다. 그런데 $y = x^2$ 처럼 휘어진 곡선 아래의 넓이는요? 반듯한 도형이 아니니 공식이 없죠.

아이디어는 단순합니다 — 아주 얇은 직사각형으로 잘게 쪼개서 다 더하는 것. 이 '쪼개서 더하기'를 무한히 정밀하게 한 게 정적분입니다. 그리고 놀랍게도, 이 넓이가 미분의 반대 연산으로 툭 튀어나옵니다.

구간 $[a,b]$ 에서 함수 $f$ 아래의 (부호가 있는) 넓이를 다음으로 정의합니다.

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$

폭 $\Delta x$ 인 직사각형 $n$ 개의 넓이 합의, $n\to\infty$ 극한(리만 합)입니다. 그리고 이 값은 미적분의 기본정리로 이렇게 계산됩니다.

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

( $F$ 는 $f$ 의 원시함수, 즉 $F'(x) = f(x)$ )

넓이를 "위치 $x$ 까지 쌓인 넓이 함수" $A(x)$ 로 보면, $x$ 를 아주 조금( $dx$ ) 늘렸을 때 늘어나는 넓이는 높이 $f(x)$ × 폭 $dx$ 입니다. 즉

$A'(x) = f(x)$

넓이 함수를 미분하면 원래 함수가 나옵니다! 그래서 넓이를 구하려면 거꾸로 미분해서 $f$ 가 되는 함수( $F$ )를 찾아 양 끝값의 차 $F(b)-F(a)$ 를 구하면 됩니다. 이게 미분과 적분이 서로 역연산이라는 미적분의 기본정리의 핵심입니다.

기호의 뜻

$\int$ 는 '합(Summa)'의 S를 늘린 것, $dx$ 는 '아주 얇은 폭'입니다. 정적분 기호 자체가 "얇은 조각을 다 더한다"는 뜻을 담고 있어요.

$y = x^2$ 를 $[0,1]$ 에서 적분해 봅시다. $x^2$ 의 원시함수는 $\dfrac{x^3}{3}$ 이므로

$\int_0^1 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$

곡선 $y=x^2$ 아래, $x=0$ 부터 $1$ 까지의 넓이가 정확히 $\dfrac{1}{3}$ 입니다.

정적분과 부정적분을 혼동. 정적분은 $\int_a^b$ 로 계산된 값(수), 부정적분은 원시함수 전체 $\int f\,dx = F(x)+C$ 로 함수입니다. 정적분엔 $+C$ 가 없습니다(뺄 때 사라짐).
넓이는 항상 양수라고 착각. 정적분은 부호가 있는 넓이입니다. $f(x)<0$ 인 구간(x축 아래)은 음수로 더해집니다. 실제 넓이를 원하면 절댓값이 필요합니다.
적분 구간의 방향을 무시. $\int_a^b = -\int_b^a$ 입니다. 위·아래 끝을 바꾸면 부호가 바뀝니다.

정적분은 넓이·부피·일·평균값 등 "쌓아서 재는" 모든 계산의 뿌리입니다. "잘게 쪼개 더한 것이, 알고 보니 미분의 반대"라는 기본정리의 직관만 잡으면 이후 치환·부분적분도 결국 이 위에서 돌아갑니다.

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