샌드위치 정리, 왜 '끼우면' 극한이 구해질까? — 조임 정리 완벽 정리

극한이 없어 보이는데 값이 나온다?

$x \to 0$ 일 때 $\sin\frac{1}{x}$ 를 생각해 봅시다. $x$가 0에 가까워질수록 $\frac{1}{x}$는 무한히 커지고, 사인은 $-1$과 $1$ 사이를 끝없이 진동합니다. 어디로도 수렴하지 않죠. 극한은 존재하지 않습니다.

그런데 여기에 $x^2$을 곱한 $x^2\sin\frac{1}{x}$ 의 극한은 깔끔하게 0입니다. 진동은 그대로인데 왜 값이 정해질까요?

곱의 법칙($\lim fg = \lim f \cdot \lim g$)을 쓰려 해도 $\lim \sin\frac{1}{x}$ 가 아예 없어서 적용 자체가 안 됩니다. 이럴 때 쓰는 도구가 샌드위치 정리입니다.

한 줄 정의

$a$ 근처에서 세 함수가 $g(x) \le f(x) \le h(x)$ 를 만족하고,

$\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$

이면 가운데 낀 함수도 같은 값으로 갑니다.

$\lim_{x \to a} f(x) = L$

빵 두 쪽이 같은 자리로 모이면, 사이에 낀 재료도 그 자리로 갈 수밖에 없다 — 그래서 샌드위치(조임) 정리입니다.

왜 되는가 — 도망갈 곳이 없다

$f$가 $L$이 아닌 다른 값으로 가려면 $L$에서 일정 거리 이상 떨어져야 합니다. 그런데 $g$와 $h$가 둘 다 $L$에 얼마든지 가까워지고, $f$는 항상 그 사이에 있어야 하죠.

$g$와 $h$가 $L$의 좁은 구간 안으로 들어와 버리면, 그 사이에 갇힌 $f$도 자동으로 그 구간 안입니다. 구간을 원하는 만큼 좁힐 수 있으니 $f$는 $L$로 갈 수밖에 없습니다. $f$가 어떻게 생겼는지는 전혀 몰라도 됩니다 — 이게 이 정리의 힘이에요.

예제 1 — 진동하는 함수 길들이기

$\lim_{x \to 0} x^2 \sin\frac{1}{x}$

사인은 무슨 일이 있어도 $-1 \le \sin\frac{1}{x} \le 1$ 입니다. 양변에 $x^2$($\ge 0$이라 부등호 방향 유지)을 곱하면

$-x^2 \le x^2\sin\frac{1}{x} \le x^2$

양 끝은 둘 다 $x \to 0$에서 0으로 갑니다. 따라서 가운데도 0입니다.

예제 2 — sin x / x = 1의 진짜 증명

미적분에서 가장 자주 쓰는 극한

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$

의 정석 증명이 바로 샌드위치 정리입니다. 단위원에서 넓이를 비교하면 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ 에서

$\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1$

이 나오고, $x \to 0$에서 $\cos x \to 1$, 오른쪽은 상수 1이므로 가운데도 1입니다.

여기서 다들 틀립니다 — 함정 3가지

1. 두 극한이 다른데 결론을 냄. $g \to 1$, $h \to 2$ 면 $f$가 그 사이에 있다는 것만 알 뿐, 극한이 존재하는지조차 알 수 없습니다. 양 끝이 같은 값일 때만 결론이 나옵니다.
2. $x=a$에서의 부등식을 따짐. 부등식은 $a$의 근방에서만 성립하면 되고, $a$ 자기 자신은 상관없습니다. 극한은 원래 그 점의 값을 보지 않으니까요. 위 예제도 $x=0$에서는 $\sin\frac{1}{x}$ 가 정의되지도 않습니다.
3. 부등식에 음수를 곱하며 방향을 안 뒤집음. $x^2 \ge 0$ 이라 위 예제는 방향이 유지됐지만, $x$처럼 부호가 바뀌는 것을 곱하면 부등호가 뒤집힙니다. 이럴 땐 $|f(x)| \le |x|$ 처럼 절댓값으로 조이는 형태가 안전합니다.

언제 꺼내 쓰나

• 함수에 $\sin$·$\cos$처럼 유계인 조각이 섞여 극한이 안 보일 때
• 곱·몫의 법칙이 적용 불가일 때(한쪽 극한이 존재하지 않음)
• 수열의 극한에서 $n!$·$n^n$ 같은 직접 계산이 어려운 항을 다룰 때

정리

• 결론: $g \le f \le h$ 이고 $\lim g = \lim h = L$ 이면 $\lim f = L$
• 왜: 양 끝이 좁혀지면 사이에 낀 값은 도망갈 곳이 없다
• 강점: 가운데 함수의 모양을 몰라도 된다 — 범위만 알면 충분
• 조건: 양 끝 극한이 같아야 함, 부등식은 근방에서만 성립하면 됨

샌드위치 정리는 "계산이 안 되면 가둔다"는 미적분의 사고방식 그 자체입니다. 이 발상은 이후 급수의 수렴 판정, 리만 합, 입실론-델타 논법에서 계속 반복되니 지금 확실히 잡아두면 두고두고 씁니다.