호도법, 왜 굳이 라디안을 쓸까? — 도(°)로는 미분이 안 되는 이유

도(°)로 잘 살았는데 왜 갑자기 라디안인가

중고등학교 내내 각도는 도였습니다. 직각은 90°, 한 바퀴는 360°. 직관적이고 계산도 쉽죠.

그런데 대학에 오면 교재가 통째로 라디안으로 바뀝니다. $\pi/2$, $\pi/6$ 처럼 분수와 $\pi$ 가 섞인 각도가 나오고, 계산기 모드를 잘못 두면 답이 전부 틀립니다.

"익숙한 걸 두고 왜 불편한 쪽으로 가나" 싶지만, 이유가 분명합니다. 도를 쓰면 미적분이 망가집니다.

한 줄 정의

반지름과 같은 길이의 호에 대응하는 중심각이 1 라디안입니다.

반지름 $r$, 호의 길이 $\ell$ 일 때 중심각은

$\theta = \frac{\ell}{r} \quad [\mathrm{rad}]$

한 바퀴는 둘레가 $2\pi r$ 이므로 $\theta = 2\pi r / r = 2\pi$ 라디안입니다. 그래서

$360^\circ = 2\pi\ \mathrm{rad}, \qquad 180^\circ = \pi\ \mathrm{rad}$

왜 미적분에는 라디안이어야 하는가

핵심은 이 극한 하나입니다.

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad (x \text{는 라디안})$

각이 아주 작을 때 호의 길이와 그 사인값이 거의 같아진다는 뜻입니다. 라디안이 호의 길이를 반지름으로 잰 값이니 당연한 결과예요.

그런데 도로 재면 이 값이 1이 아닙니다.

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^\circ}{x} = \frac{\pi}{180} \approx 0.01745$

이 차이가 미분에 그대로 번집니다. 라디안에서는 깔끔하게

$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$

이지만, 도를 쓰면

$\frac{d}{dx}\sin x^\circ = \frac{\pi}{180}\cos x^\circ$

미분할 때마다 $\pi/180$ 이 하나씩 달라붙습니다. 두 번 미분하면 제곱으로 붙고요. 삼각함수의 미분·적분·테일러 전개가 전부 지저분해집니다. 라디안은 이 군더더기를 없애려고 고른 자연스러운 눈금입니다.

예제로 확인

① 변환 — $180^\circ = \pi$ 하나만 기억하면 됩니다.

$60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}, \qquad \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} = 135^\circ$

자주 쓰는 값은 외워두면 빠릅니다.

② 호의 길이와 부채꼴 넓이 — 라디안을 쓰면 공식이 짧아집니다.

$\ell = r\theta, \qquad S = \frac{1}{2}r^2\theta$

도를 쓰면 $\ell = 2\pi r \times \dfrac{\theta}{360}$ 처럼 매번 비율을 끼워 넣어야 하죠.

반지름 6, 중심각 $\pi/3$ 인 부채꼴이면

$\ell = 6 \times \frac{\pi}{3} = 2\pi, \qquad S = \frac{1}{2}(6^2)\left(\frac{\pi}{3}\right) = 6\pi$

③ 작은 각 근사 — 라디안에서는 $\theta$ 가 작을 때 $\sin\theta \approx \theta$, $\tan\theta \approx \theta$ 로 바로 쓸 수 있습니다. 물리에서 단진자를 단진동으로 다루는 것이 정확히 이 근사예요.

여기서 다들 틀립니다 — 함정 3가지

1. 계산기 모드를 확인 안 한다. DEG로 두고 $\sin(\pi/6)$ 을 넣으면 0.5가 아니라 0.0548이 나옵니다. 답이 통째로 틀리는데 과정은 멀쩡해 보여서 찾기도 어려워요. 미적분 문제면 무조건 RAD입니다.

2. 부채꼴 공식에 도를 그대로 넣는다. $S = \frac{1}{2}r^2\theta$ 는 라디안 전용입니다. 60°를 그냥 60으로 넣으면 넓이가 60배쯤 커집니다. 각이 60처럼 큰 수로 주어지면 일단 의심하세요.

3. $\sin\theta \approx \theta$ 를 도에서 쓴다. 이 근사도 라디안에서만 성립합니다. 5° 를 그대로 넣으면 $\sin 5^\circ = 0.0872$ 인데 5라고 답하게 되죠. 라디안으로 바꾸면 0.0873이라 근사가 잘 맞습니다.

정리

• 정의: $\theta = \ell/r$ — 길이÷길이라 단위 없는 순수한 수
• 변환: $180^\circ = \pi\ \mathrm{rad}$
• 쓰는 이유: $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$ 이 라디안에서만 성립 → 미분이 깔끔해짐
• 공식: $\ell = r\theta$, $S = \frac{1}{2}r^2\theta$ (라디안 전용)

호도법은 "새로 외울 각도 체계"가 아니라 미적분이 돌아가게 만드는 전제입니다. 이 관점으로 보면 $\pi/6$ 같은 표기가 불편이 아니라 편의였다는 게 보입니다.