부정적분, +C는 왜 붙일까? — 정적분과 무엇이 다른가

"+C 빼먹어서 감점" 이 억울한 이유

적분 문제를 다 풀고 답을 맞췄는데 $+C$ 를 안 써서 깎였던 경험, 다들 있으실 겁니다. 그때 드는 생각은 대개 이렇죠.

어차피 상수인데 왜 이렇게 따지지?

그런데 $+C$ 는 장식이 아니라 답의 일부입니다. 이걸 빼면 답이 부실한 게 아니라 틀린 답이 됩니다. 왜 그런지만 알면 다시는 안 빼먹게 돼요.

한 줄 정의

$F'(x) = f(x)$ 를 만족하는 $F$ 를 $f$ 의 원시함수라 하고, 원시함수 전체의 모임을 부정적분이라 합니다.

$\int f(x)\,dx = F(x) + C$

핵심은 "하나"가 아니라 "전체" 라는 데 있습니다.

왜 $+C$ 인가 — 미분이 상수를 지우기 때문

미분은 정보를 잃는 연산입니다. 상수를 미분하면 0이 되어 흔적도 없이 사라지죠.

$(x^2)' = 2x, \quad (x^2 + 7)' = 2x, \quad (x^2 - 100)' = 2x$

세 함수 모두 미분하면 $2x$ 입니다. 그러니 거꾸로 $2x$ 를 적분할 때 "원래 무엇이었나"를 물으면 답이 하나로 정해지지 않습니다. $x^2$ 도, $x^2+7$ 도, $x^2-100$ 도 전부 답이에요.

그래서 $+C$ 를 안 쓰면 "무한히 많은 답 중 하나만 골라 전부인 척"하는 셈이 됩니다. 그게 감점 사유예요.

예제로 확인

① 기본 공식 — $n \neq -1$ 일 때

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

$n = -1$ 이 빠진 이유는 분모가 0이 되기 때문이고, 그 자리는 로그가 대신합니다.

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

② 절댓값을 왜 씌우나 — $\ln x$ 는 $x > 0$ 에서만 정의되지만 $1/x$ 는 $x < 0$ 에서도 멀쩡합니다. 음수 구간까지 덮으려고 절댓값을 씌웁니다. 미분해 보면 $x<0$ 에서도 $(\ln(-x))' = \dfrac{-1}{-x} = \dfrac{1}{x}$ 로 맞아떨어져요.

③ 검산은 미분 — 부정적분은 답을 미분해서 원래 함수가 나오면 맞습니다.

$\int (3x^2 + 2x)\,dx = x^3 + x^2 + C \quad \xrightarrow{\ \text{미분}\ } 3x^2 + 2x \ \checkmark$

객관식이든 서술형이든 30초면 확인되니 반드시 습관으로 만드세요.

부정적분과 정적분은 무엇이 다른가

이름이 비슷해서 같은 것으로 뭉뚱그리기 쉬운데, 결과물의 종류부터 다릅니다.

정적분에서 $C$ 가 필요 없는 이유는 계산 과정을 보면 바로 보입니다.

$\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)+C]_a^b = (F(b)+C) - (F(a)+C) = F(b) - F(a)$

$C$ 가 빼기에서 상쇄됩니다. 그래서 어떤 원시함수를 골라도 답이 같아요.

둘을 이어주는 다리가 미적분학의 기본정리입니다. 자세한 계산은 정적분 쪽에서 다뤘습니다.

여기서 다들 틀립니다 — 함정 3가지

1. 치환적분 후 원래 변수로 안 되돌린다. $t$ 로 치환해 풀었으면 답도 $t$ 가 아니라 $x$ 로 돌려놓아야 합니다. 부정적분의 답은 함수이고, 그 함수는 원래 변수로 표현돼야 의미가 있어요. (정적분이라면 적분 구간까지 $t$ 기준으로 바꿔야 합니다.)

2. $\int x^n dx$ 를 $n=-1$ 에도 쓴다. 분모 $n+1$ 이 0이 됩니다. $1/x$ 만은 로그라는 것을 별도로 외워두세요.

3. 정적분에 $+C$ 를 붙인다. 정적분의 답은 수입니다. 여기에 $C$ 가 붙어 있으면 개념을 반대로 이해한 것으로 읽힙니다.

정리

• 부정적분 = 원시함수 전체의 모임 → 그래서 $+C$
• $+C$ 의 정체: 미분이 지워버린 상수(=곡선의 높이)
• 검산은 미분 — 30초면 끝
• 부정적분은 함수, 정적분은 수 — $C$ 는 정적분에서 상쇄되어 사라짐

$+C$ 를 "규칙이니까 붙이는 것"에서 "답이 하나가 아니니까 붙이는 것"으로 바꿔 이해하면, 미적분 뒷단원의 미분방정식에서 초기조건으로 $C$ 를 결정하는 장면이 자연스럽게 연결됩니다.