부분적분법, u와 dv를 뭘로 잡아야 할까? — LIATE와 순환형까지

공식은 아는데 매번 더 복잡해지는 이유

부분적분 공식은 한 줄입니다. 외우기도 쉽습니다. 그런데 시험에서 적용하면 이상하게 원래보다 더 어려운 적분이 나옵니다.

$\int x e^x\,dx$ 를 풀 때 $u = e^x$ 로 잡으면 이렇게 됩니다.

$\int x e^x dx = \frac{x^2}{2}e^x - \int \frac{x^2}{2}e^x dx$

$x$가 $x^2$이 되어 더 나빠졌습니다. 공식은 정확히 맞게 썼는데도요.

부분적분에서 진짜 배워야 할 건 공식이 아니라 $u$를 무엇으로 잡을지 판단하는 기준입니다.

한 줄 정의

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

정적분이면 $uv$ 항에도 구간을 적용합니다.

$\int_a^b u\,dv = \Big[uv\Big]_a^b - \int_a^b v\,du$

왜 되는가 — 곱의 미분법을 거꾸로 읽은 것

새로운 기법이 아니라 곱의 미분법을 적분한 것뿐입니다.

$(uv)' = u'v + uv'$

양변을 적분하면

$uv = \int u'v\,dx + \int uv'\,dx$

$\int uv'dx$ 에 대해 정리하면

$\int uv'\,dx = uv - \int u'v\,dx$

이게 바로 $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ 입니다. 미분에서는 곱을 두 조각으로 펼치는 규칙이었는데, 적분에서는 그 관계를 이용해 한 조각을 다른 조각과 맞바꾸는 도구가 된 셈이죠.

u 선택 기준 — LIATE

$u$는 미분하면 단순해지는 것, $dv$는 적분이 쉬운 것으로 잡습니다. 실전에서는 다음 순서에서 앞선 것을 $u$ 로 두면 대부분 통합니다.

왜 이 순서일까요? 앞쪽일수록 미분하면 확 단순해지고(로그는 미분하면 유리함수), 뒤쪽일수록 적분해도 그대로($e^x$는 적분해도 $e^x$)이기 때문입니다.

예제 1 — 다항식 × 지수

$\int x e^x\,dx$

LIATE에 따라 A($x$)가 E($e^x$)보다 앞이므로 $u = x$, $dv = e^x dx$.

$du = dx, \qquad v = e^x$

$\int x e^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C = e^x(x-1) + C$

$x$가 미분되어 $1$로 사라지면서 남은 적분이 한 방에 끝났습니다. 앞에서 실패한 선택과 정확히 반대죠.

예제 2 — dv를 dx로 두는 경우

$\int \ln x\,dx$

곱이 아닌데 어떻게 부분적분을 할까요? $1$을 곱해져 있다고 보면 됩니다.

$u = \ln x$, $dv = dx$ 로 두면 $du = \frac{1}{x}dx$, $v = x$ 이므로

$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}dx = x\ln x - x + C$

로그·역삼각함수의 적분은 전부 이 패턴입니다.

예제 3 — 제자리로 돌아오는 순환형

$I = \int e^x \sin x\,dx$

$u = \sin x$, $dv = e^x dx$ 로 한 번:

$I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx$

남은 적분에 같은 방식으로 한 번 더($u = \cos x$):

$\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx = e^x\cos x + I$

대입하면

$I = e^x\sin x - e^x\cos x - I$

원래 적분 $I$가 다시 나타났습니다. 실패가 아니라 방정식이 만들어진 것이니 이항해서 풀면 됩니다.

$2I = e^x(\sin x - \cos x) \;\Rightarrow\; I = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$

여기서 다들 틀립니다 — 함정 3가지

1. $v$를 구할 때 적분상수를 끼워 넣음. $dv$에서 $v$를 얻을 때는 상수 없이 하나만 잡으면 됩니다. 최종 답에만 $+C$를 붙이세요.
2. 정적분에서 $uv$ 항의 대입을 잊음. $\int_a^b u\,dv$ 에서 $\big[uv\big]_a^b$ 를 빼먹고 적분 항만 계산하는 실수가 정말 흔합니다. 미정적분으로 다 푼 뒤 마지막에 구간을 넣는 편이 안전합니다.
3. 치환적분으로 될 것을 부분적분으로 시도. $\int xe^{x^2}dx$ 는 $t = x^2$ 치환이면 3초입니다. 미분한 것이 안에 들어있으면 치환, 성격이 다른 두 함수의 곱이면 부분적분 — 이 구분을 먼저 하세요.

정리

• 결론: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ — 곱의 미분법을 뒤집은 것
• 목적: 더 쉬운 적분과 교환하는 것(더 어려워지면 선택이 틀린 것)
• 선택: LIATE 앞쪽을 $u$로 — 미분하면 단순해지는 쪽
• 순환형: 원식이 돌아오면 방정식으로 보고 이항

부분적분은 정적분과 함께 적분 단원의 두 축입니다. $u$ 선택이 손에 익으면 라플라스 변환·이상적분·급수 전개 같은 뒤쪽 내용에서 계속 같은 손놀림을 쓰게 됩니다.