평균값정리, 왜 '평균 속도인 순간'이 꼭 있을까? — 롤의 정리부터

평균 시속 100이면, 어느 순간 속도계도 100이었다

서울에서 대전까지 140km를 1시간 24분에 달렸다면 평균 속도는 시속 100km입니다. 그런데 실제로는 막히면 40으로 기었다가, 뚫리면 120으로 밟았다가 했겠죠.

여기서 당연해 보이지만 증명이 필요한 사실 하나 — 주행 중 어느 한 순간, 속도계 바늘은 정확히 100을 가리켰습니다. 40에서 120으로 올라가는 동안 100을 안 지나칠 수는 없으니까요.

이 "평균과 똑같아지는 순간이 반드시 있다"를 수학으로 못 박은 게 평균값정리(Mean Value Theorem)입니다. 미분과 극한을 잇는 뼈대라, 여기가 잡히면 뒤따르는 증가·감소 판정, 로피탈, 테일러가 훨씬 편해집니다.

한 줄 정의

함수 $f$ 가 닫힌구간 $[a,b]$ 에서 연속이고 열린구간 $(a,b)$ 에서 미분가능하면, 다음을 만족하는 점 $c$ 가 $(a,b)$ 안에 적어도 하나 존재합니다.

$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

• 우변 $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ = 구간 전체의 평균 변화율(= 두 점을 잇는 할선의 기울기)
• 좌변 $f'(c)$ = 점 $c$ 에서의 순간 변화율(= 접선의 기울기)

즉 "할선과 평행한 접선이 그어지는 점 $c$ 가 반드시 있다" 는 이야기입니다.

왜 되는가 — 롤의 정리를 '기울여서'

먼저 특수한 경우, 롤의 정리부터 봅시다. 양 끝 높이가 같으면($f(a)=f(b)$), 그 사이 어딘가에 기울기가 0인 점(봉우리나 골짜기)이 있습니다.

$f(a)=f(b) \ \Rightarrow\ f'(c)=0 \ \text{인 } c \text{ 존재}$

평균값정리는 이걸 비스듬히 기울인 것뿐입니다. 함수 $f$ 에서 할선을 빼서 양 끝 높이를 같게 만든 새 함수

$h(x) = f(x) - \Big[f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\Big]$

를 만들면 $h(a)=h(b)=0$ 이 되어 롤의 정리를 쓸 수 있고, $h'(c)=0$ 을 풀면 정확히 $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 가 나옵니다.

예제로 확인

$f(x)=x^2$ 를 $[0,2]$ 에서 봅시다.

• 평균 변화율: $\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0} = \dfrac{4-0}{2} = 2$
• 도함수: $f'(x)=2x$ → $2c = 2$ → $c = 1$

$c=1$ 은 $(0,2)$ 안에 있고, $x=1$ 에서의 접선 기울기(2)가 $(0,0)$–$(2,4)$ 를 잇는 할선의 기울기(2)와 정확히 같습니다. 정리대로죠.

여기서 다들 틀립니다 — 함정 3가지

1. 조건을 확인하지 않는다. 연속·미분가능이 깨지면 성립하지 않습니다. $f(x)=|x|$ 를 $[-1,1]$ 에서 보면 평균 변화율은 $\dfrac{1-1}{2}=0$ 인데, 도함수는 $-1$ 아니면 $+1$ 이라 0이 되는 점이 없습니다. $x=0$ 에서 미분 불가능이라 정리가 적용되지 않기 때문입니다.
2. '중간값정리'와 혼동한다. 이름이 비슷해 제일 많이 섞습니다. 평균값정리는 도함수(기울기) 에 대한 정리이고, 중간값정리(IVT)는 함숫값 에 대한 정리(연속함수는 $f(a)$ 와 $f(b)$ 사이 모든 값을 지난다)입니다. 완전히 다른 정리예요.
3. $c$ 를 구간의 중점으로 착각한다. 평균값정리는 $c$ 의 존재만 보장하지 위치는 함수마다 다릅니다. $f(x)=x^3$ 을 $[0,2]$ 에서 풀면 $c=\dfrac{2}{\sqrt3}\approx1.15$ 로, 중점 1이 아닙니다.

정리

• 조건: $[a,b]$ 연속 + $(a,b)$ 미분가능
• 결론: 할선 기울기 $=$ 접선 기울기인 점 $c$ 가 $(a,b)$ 에 존재
• 뿌리: 롤의 정리(양 끝이 같으면 기울기 0인 점 존재)를 기울인 것

평균값정리는 "도함수가 0이면 상수함수", "도함수 부호로 증가·감소 판정" 같은 미적분의 기본 도구들이 성립하는 근거입니다. 로피탈 정리도, 테일러 정리의 오차항도 여기서 출발하죠. 그래서 이 한 정리가 흔들리면 뒤가 계속 흔들립니다 — 조건과 롤의 정리와의 관계를 손으로 한 번 유도해 보는 게 가장 확실합니다.