테일러 급수, 왜 함수를 다항식으로 바꿀까? — 매클로린 급수까지

계산기는 $\sin 1$을 어떻게 계산할까?

계산기에 $\sin 1$을 치면 $0.8414\ldots$가 나옵니다. 그런데 계산기 안에는 삼각형도 단위원도 없습니다. 곱셈과 덧셈밖에 못 하는 기계가, 어떻게 삼각함수 값을 알까요?

답이 테일러 급수입니다. 아무리 복잡한 함수라도 다항식(덧셈·곱셈)으로 흉내 낼 수 있게 해주는 도구죠.

한 줄 정의

함수 $f$ 를 $x=a$ 근처에서 다음 무한 다항식으로 나타내는 것:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots$

특히 $a=0$ 일 때를 매클로린 급수(Maclaurin series)라고 부릅니다.

왜 되는가 — 직관

한 점에서의 미분값들이 그 함수의 정보를 담고 있습니다.

• $f(a)$ = 그 점의 높이
• $f'(a)$ = 그 점의 기울기
• $f''(a)$ = 그 점의 휘어지는 정도(곡률)
• …

대표 급수 3개 (매클로린)

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

여기서 물리에서 자주 쓰는 근사가 바로 나옵니다. $x$ 가 아주 작으면 뒤 항들은 무시할 만큼 작아져서

$\sin x \approx x \quad (x \ll 1)$

"작은 각 근사"가 왜 성립하는지가 급수 한 줄로 설명됩니다.

흔한 함정

1. 수렴 반경: 모든 $x$ 에서 급수가 원래 함수와 같아지는 건 아닙니다. 수렴하는 구간이 정해져 있습니다.
2. $a$ 근처에서만 정확: 전개 중심 $a$ 에서 멀어지면 적은 항으로는 오차가 커집니다.
3. $n!$ 을 빠뜨림: 계수의 분모 $n!$ 이 핵심입니다. 이걸 놓치면 완전히 다른 값이 됩니다.

정리

• 무엇: 함수를 $\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ 항들의 합(다항식)으로
• 왜: 한 점의 미분값들이 함수 모양을 결정하니까
• 어디에: 계산기·물리 근사($\sin x\approx x$)·오일러 공식·수치해석의 뿌리

테일러 급수는 미분과 급수가 만나는 자리라, 여기가 잡히면 오일러 공식·멱급수·미분방정식의 급수해까지 자연스럽게 이어집니다.